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在问题解决中学习数学 ——高二年级第一学期“等比数列前n项和”教学设计

时间:2018-05-16 09:36来源:未知 作者:360期刊网 点击:

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  在问题解决中学习数学——高二年级第一学期“等比数列前n项和”教学设计

  文/上海市宜川中学李英

  【前端分析】

  课程标准对“等比数列前n项和”的学习要求是“探索并掌握”,属探究性理解水平,即在明了知识来龙去脉的基础上,能把握知识的本质及其内容。我所执教的班级是我校创新实验班,学生的数学基础与能力相对较好。“等比数列的前n项和”处于整个数列单元的中观位置,学生已有“数列的概念”“等差数列的前n项和”“等比数列的定义”等知识与经验。基于学生已有的认知基础,通过创设问题情境,我让学生在探究中经历知识的再创造过程,帮助学生实现思维的跨越,在问题解决过程中发展理性思维。

  【问题提出】

  随着互联网的飞速发展,在未来多变的环境中,获取新的知识以及应用它们解决问题的能力,已被认为是未来公民必备的重要能力。首都师范大学王尚志教授在《基于数学核心素养的教学要点》-文中指出:“让学生在问题解决过程中学习数学。数学的概念、定理、应用等都是在发现、提出、分析与解决问题的过程中产生的,让学生身临问题环境,尽量感悟提出、解决问题的真实过程是提升数学学科核心素养的有效路径。”核心素养统领下的数学教学必然是超越知识与技能的,如果局限在以错位相减法推导“等比数列的前n项和”,学习目标的指向较难超越知识与技能层面,学生可能会失去一次难得的在问题解决过程中学习数学的绝佳机会。基于单元设计,教师应引导学生从已有的知识和经验出发,多视角探究问题解决的路径,自然、顺畅地生成“等比数列的前n项和公式”,进一步完善知识结构,体验高层次思维,学会数学式地思考,从而实现数学育人的目标。

  【教学设计】

  (一)问题提出

  1.问题引入(课本)。古印度国王奖赏国际象棋的发明者,发明者要的奖赏是,“请在8行8列的国际象棋棋盘的第1个格子放1颗麦粒,在第2个格子放2颗麦粒,在第3个格子放4颗麦粒,依此类推,直到放完64个格子为止。”问这位发明者要了多少颗麦粒?问题归结为求首项为1,公比为2的等比数列的前64项的和:S64 =1+2+2z+…+2邸。

  2.问题提出(问题一般化)。己知等比数列{an),求其前n项和:鼠=q+口2+…+口。。

  3.形式特征。(1)分析“等差数列的前n项和”的两个公式:鼠=詈(q+%)=慨+堕等尘盯的共性与差异;(2)猜测“等比数列前n项和公式”的形式特征。设计意图:借助“等差数列前n项和公式”,探求“等比数列前n项和”的形式特征:(共性)前n项和与项数n有关;(差异)前n项和要么用基本量(首项、公比)表达,要么用首项和末项表达,实质是化n项为几项(这里是两项),体现了简约思想。对问题结果形式特征的分析,可以为问题解决指明方向。

  (二)问题解决

  思路一:解方程。

  1.已有认知。一般数列的前n项和满足:鼠= s.-.+%加2 2)①。

  2.路径分析。已知方程①中,末项%在问题题干中已告知,视为己知量,若能得到关于求知量文,s一,的

  另一个等式,按方程思想,问题可解。由形式特征可知,结果中还应该有首项al,于是寻找只,最一,,q的等量关系成为解决问题的关键所在。

  3.问题解决。由n22时,只=q+呜+…+%=q+如+口3+…+%),且s"一1=q+42+…+口。.1。结合等比数列的定义,发现口2 +a3+ - -+a。=窜似l+4z+…+吒_1)=孕霸一l,即s-=瞩,帅,②。由方程①②联立,解毒;£,鼍_堕监L*s~=等qq‘q≠1)对n=l也成立。即当口≠1时,鼠2等半枷eⅣ)。完善公式,当q=l时,鼓=n吒。

  设计意图:从一般数列前n项和满足只= s,-J+a伽≥2)入手,将前n项和看做是未知量,通过寻找另一方程鼠=峨,.+q,利用解方程组成功解决了问题。这里发现另一外等量关系有赖于直觉的引领,而直觉的源头在于类比“等差数列前n项和公式”的形式特征,猜想“等比数列前n项和公式”应具有的结构,由此探索公式最后的真面目,解题的核心策略是方程思想。

  4.公式应用。解决引入问题,由公比q=2#1,知Sl=等qq(ne』v’),将吼=l,tl64= 263代入,得% =1+2+2z+…+F=2聃一1(颗),思考:奖赏者所要的大约264颗麦粒到底是多少。据课本提供资料,1000颗麦粒约合50克,那么264颗麦粒约合多少。设∥=l旷等lg(lo卅)=舰= 64 xlg2≈19.266,按脚=19,2科=1019估算,可知264颗麦粒约合1016×50克,相当于5000亿吨麦粒。据网上资料,2016年全世界所有谷物(含小麦)总产量约为24. 67亿吨,即使按年产25亿吨计算,那么奖赏者要的所有麦粒数大约相当于全世界200年所有谷物的产量。设计意图:利用推导的公式解决引入问题,即对公式的直接应用,能培养学生应用数列模型解决实际问题的能力,特别是学生对估算后的结果很震撼,激起学生探究公式的本质的动力。事实上,数列是特殊的函数,从函数观点出发,当口≠l时,墨= th-a.q=丛生也即鼠2奇矿+南(一Ⅳ')本质上是指数型函数。在引入问题中,公比q=2,q=l,只=29-l(ns N')呈爆炸式增长,体现了题目中奖赏者的智慧,发展了学生的建模素养。

  +视角二:作为通项的只。

  思路二:(线性)化归。

  1.已有认知。一阶线性递推数列a“=眠+m(口*1)。帆+者)是公比为q幻*1)的等比数列。

  2.路径分析。由上述问题解决中得到的关系式:最2绒一,+口t(生成资源),符合线性递推关系,可化归为等比数列,进而问题解决。

  3.问题解决。当q=l时,由瓯-s -,=嘞,得瓯=肿,当g≠l时,由E +q~qS.d+rqS:.,+器-q(S.一十南x膛2'一Ⅳ’),于是数列蛾+南组成公比为g(gtl)的等比数列,则鼠+≠l_;(风+q旨).q"'rqfl。茸z生譬芋te-.,。

  设计意图:利用之前的生成资源,作为数列溉}通项的瓯满足瓯=绒。+吩伽≥2)。当公比q=l时,数列S,是公差嘞的等差数列,得通项只=瑚,;当q#l时,由待定系数法,得鼠+f=绒一-+at+f;鲥鼠.t+t)。吼+r。叮f辛,。≠专衍,1)。将一阶线性递推数列归结为等比数列问题,其核心策略是化归思想。

  思路三:归纳、猜想(具体解法略)。

  +视角三:作为和式的最。

  思路四:错位相减(从定义出发)。

  1.已有认知。等比数列的定义:aiq=啦,a2q= a3,…,%.g=嚷(积的形式)。

  2.路径分析。利用定义,和式两边同‘乘公比g(口*1),消去相同的项,化n项为几项(两项)。

  3.问题解决。当口≠l时,将和式鼠=q+嘎+…+吒①两边同乘以公比q,结合等比数列的定义,可得qS;吗+如+…+巩+刚②。两式相减,得(l-q)S;q-o:.q,且q*l,则只=。笨≯憎“,。

  4.完善公式。当q=t时,最。w,。

  设计意图:等比数列定义的实质是相邻两项间的等比例关系,即每一项乘以公比g后,都变为其后一项。若把整个和式都乘以公比q,就会出现若干相同的项,若能够消去这些相同的项,或许就会达到化n项为两项的目标,从而想到利用错位相减法求二等比数列前n项和”,该策略的核心是消元思想,路径是错位相减,源于对等比数列定义本质的认识。

  思路五:恒等变形(具体解法略)。

  思路六:裂项相消(具体解法略)。

  (三)问题反思

  学生小组合作,对上述六种方法,从简捷性、完备性和本原性等维度进行评估。通过互动交流,学生达成共识。学生发现错位相减策略思路源于定义,体现本原性;而且推导过程是严谨的,体现了完备性;更重要的是过程比较简单,体现了简捷性,因此课本选用此方法来推导该公式。那么,上述六种思路有何关联?通过师生交流,达成共识:六种思路表面上思维的视角不同,基于的已有认知不同,但其核心等量关系的实质却相同。思路一和思路二中核心数量关系鼠。喊。+q,其背后是等式q+屯+…+~t咖,+a:+…+^。),即从第2项起每一项提出公比g(qtl)后,就变为其前一项;而错位相减法的背后,是每一项乘以公比g(g≠1)后,相应地变为其后一项:口魄+鸭+…+n。乜);a:+吒+…+吼+tt q。所谓万变不离其宗,这个“宗”就是等比数列的定义。设计意图:通过方法评估、实质探究两个环节,培养学生的批判性思维,学会透过现象抓住本质,将思维引向深入,一题多法是一种境界,但多法归一才是更高的境界。

  【自我反思】

  本设计以单元为立意,理性思维为目标。在“学科核心素养一课程标准一单元教学设计一课时计划一课堂实施”整个链条中,单元教学设计处于从学科核心素养到课时计划环节的中观位置,是落实学科核心素养的重要抓手。本课从问题解决的角度,将“等比数列前n项和”与“等差数列前n项和”类比,猜想等比数列求和公式应具有的结构,由此探索公式最后的真面目。将“等比数列前n项和”作为出发点,解决这个问题的路径有两条:前n项和与等比数列。首先,前n项和路径,视角一从一般数列求和公式入手,将前n项和看做未知量,利用解方程组成功解决了问题;再回到最初的引入,建立相应的数学模型,不仅体现了等比数列指数爆炸的特征,也培养了学生数学建模的核心素养。视角二是将前n项和看做数列的通项,利用课堂生成的一阶线性关系,将特殊数列化归为等比数列,成功解决了问题。其次,等比数列路径,从等比数列定义的商式出发,利用己学过的“比的性质”,由项到和;或是从等比数列定义的积式入手,抓住相邻项的关系,用错位相减、裂项相消的方式解决了问题。课堂进入尾声之时,我引导学生从简捷性、完备性、本原性三个维度评估这六种方法,同时探究不同方法的共同本质,再次将“问题解决”理念推到高、潮。以“知识技能”为中心,核心素养难以融入(贴标签);以“问题解决”为中心,素养培育水到渠成。课堂小问题,用于推进教学,学生的认知水平以识记、解释为主;课堂大问题,用于撬动思维,促进体验、探究等高层次思维的发生,有利于学科核心素养的落实。

  【专家点评】

  卓越的教师应当能站在高观点,即研究的基础上去上课,李英老师的课凸显了“立意高、入口浅”的单元教学设计的特征,单元设计的好处是明确了“我从哪里来,我来干什么,要去向何方”。本节课是基于核心素养落实的一种探索,“数学抽象、数学推理、数学建模和数学运算”等素养自然融入渗透在课堂教学过程中,总体表现为“载体简单、素养渗透、思想深刻、概念打通”。

  (点评人:华东师范大学数学系副教授、硕士生导师陈月兰)

  本节课的设计思想是基于单元设计的问题解决,李英老师把公式习得课设计成问题解决式的探究课,围绕“问题”体现四个层次,即问题情境、问题解决、问题反思,最后达到问题升华。从问题情境角度看,本节课利用课本中“国际象棋”的问题情境,结合现实粮食的产量,可以说既经典,又现代,培育了学生的建模素养;从问题解决角度来说,本节课突破了错位相减的单一方法,从单元出发,视角更宏观,思维更深刻;从问题反思角度看,本节课抓住了数列离散、有序等特征,注重挖掘公式的本质;从问题升华角度看,本节课先从方程、基本量等角度入手,然后引出错位相减方法,这样的设计与后面的评价相辅相承,引领学生高层次思维的发展,突出理性思维和理性精神。总之李英老师使用传统的授课方式将深刻的现代思想渗透给学生,直指学科核心素养的培育,可谓是传统和现代的有力碰撞。

  (点评人:上海市宋庆龄学校常务副校长、上海市中学数学正高级教师陈双双)

  首先关于这堂课,核心是引入和方法两个关键词,在引入环节,教师利用情境问题结果的冲击力激发学生想知道如何算的欲望,为算法学习打下伏笔;在方法上强调通性通法,错位的方法是处理递推问题的通法,难点在于如何想到这个方法,本节课通过方程、化归、基本量等不同视角的一些奠基性活动,为学生自己想到错位相减法提供可能,并强调了方程思想和建模思想的重要性。其次是单元设计与核心素养的落实问题,我曾提出在课程标准修订过程中,专家组对落实学科核心素养的基本构想:强调在保持“双基”教学传统的同时,以新的视角看待原来的课堂,基于单元设计,在大的线条上去落实学科核心素养,这需要一线教师的实践与智慧,李英老师的课与项目研究微报告提供了很好的思路。※

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