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浅谈《线性代数》的课堂教学

时间:2017-07-07 15:16来源:未知 作者:360期刊网 点击:

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  浅谈《线性代数》的课堂教学

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  (1、南京信息工程大学数理学院,江苏 南京210044;2、解放军信息工程大学理学院,河南郑州450000)

  摘要:结合线性代数课程自身特点及教学中遇到的一些实际问题,通过自己的教学实践,总结了线性代数的一些教学方乜并举例说明了这些方法在教学中的应用。以期在未来的教学中达到更好的教学效果。

  关键词:线性代数;类比;反例;教学方法

  中图分类号:029 文献标识码:A 文章编号:1009_0118(2010)-07- C181-0^

  线性代数是大学理工科和经管类学生的一门重要的必修课程,既是学习计算数学、微分方程、离散数学等后继课程的必要基础,也是在自然科学、工程技术、经济学等领域中应用广泛的数学工具之一。但由于线性代数课程有较高的抽象性和严密的逻辑性,同时又包含大量的概念、定理推导以及复杂的计算,这使得学生普遍认为学习这门课程比较困难。另外,随着教学观念的不断更新,线性代数等基础课的学时日趋减少。因此,如何利用有限的时间达到更好的教学效果显得尤为重要。鉴于此,本文结合自己的教学实践对如何上好这门课进行了一些探讨与总结。

  一、类比、对比的教学方法

  类比是一种通过已知事物(或事例)与跟它有某些相同特点的事物(或事例)进行比较类推从而证明论点的论证方法。在第一章行列式的教学中,我们用加减消元求解二元一次方程组,引入二阶行列式的概念,由三元一次方程组引入三阶行列式的概念,依次类推,采用类比的方法,很自然地就可得到解n元一次方程组时需要n阶行列式,从而轻松地引出了n阶行列式的形式和概念;并且根据二元一次方程组的行列式的解形式,顺乎情理地得到用n阶行列式表示n元一次方程组的解的形式,随后做些严格化的讲解.-Gramer法则。这样可使学生经历了一个简单的探索过程,提高了他们的学习兴趣,更重要的是使他们将线性方程组的解和行列式紧紧地联系在一起,加深了对线性方程组及行列式的理解。

  线性代数中概念定理较多,而概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体,所以概念教学尤为重要。在概念教学中,教师传授知识不是一个简单地传递,学生的学习也不应是被动地接受。因此在讲清楚概念的同时,要启发学生对所讲概念和前面已学的类似易混淆的概念进行对比,采用对比的方法可使学生加深对概念的理解及准确把握,从而更好地把握数学知识的本质特征。如教师在讲述矩阵的概念时,可以采用该方法,将矩阵的概念和行列式的概念进行对比,首先矩阵表示的是一个数表,行列式则表示的是一个数:其次,矩阵中行数和列数不一定相等,而行列式中必须相等:再次,从表达形式上矩阵用圆括号或方括号来表示,而行列式则用两条竖线表示,等等。二者虽然表示符号相似,但却有本质的不同。通过这样的对比分析后,学生对矩阵和行列式的概念理解更加扎实、深刻。在讲授矩阵乘法满足的规律时,可以与数的乘法进行对比分析,找出共同点及存在的差异,如矩阵乘法不满足交换律和消去律,而数的乘法则不然{两个非零的矩阵乘积可能为零矩阵,而两个非零的数乘积定不为零:等。通过这样的讲授,将有助于学生更好地理解矩阵乘法的特点。

  另外,在讲完矩阵的转置及逆的这两种运算及规律后,师可把他们进行类比、对比分析,找出相同点和不同点如1:@r)%,o一-)一一刊;2:(翩)r=kAr,(枷)一1_b一’(k+0);j(AB)kBrAr,0B)一-=B一1爿“。将这些规律放在一起类比后,0生能更加容易理解及掌握。另外还应指出转置运算还满足(4十B)气4t旧r,而逆运算没有相似的性质。最后,教师还应指出这两种运算间的联系,即以勺一1=0“)T。通过这样的讲解后,对于转置和逆的运算规律,学生不容易混淆、掌握的更加牢固。等等。这种方法可以广泛地应用在线性代数的教学中,可以使学生加深对知识的理解,提高分析与理解能力、认识水平,激发学生的学习热情。

  二、反例教学法

  一个一般性命题,可用其某一特殊情况的不真加以否定,该特殊情况就是反例。在线性代数的教学过程中,教师如果能够充分地采用反例教学法,不但可以培养学生逆向思维,还可以加深理解、巩固知识。如在讲授矩阵的乘1 0 0、法不满足交换律时,教师可以举反例,设矩阵42 1一l l J,0 2、B= 2 -11,根据矩阵乘法的定义,得到AB= (-02;,10 1 J,2—2 2、BA=1 1 1—1I。从这个反例中,很容易得到矩阵乘法确Il一1 1 J

  实不满足交换律,无需证明,这样讲解非常直观,学生也很容易接受。除此之外,在讲授矩阵的乘法不满足消去律1 0时,也可以通过反例来说昀,如,若矩阵A2 0 0,《刁,c一㈢,贝|4蒯c,伽钉,非植黜非常简单地就可以看出。因此,反例教学法在线性代数中有其特殊的价值,恰当地使用反例能帮助学生直观地理解概念和定理,同时能减小命题证明的难度;另外,寻求反例的过程也可以培养学生的逆向思维,激发学生的学习兴趣,从而使教学取到事半功倍的效果。

  三、适当总结和归纳、认真上好习题课

  适当地总结和归纳、认真上好习题课,是线性代数教学的一个非常重要的环节。通过习题课,不但可使学生对所学知识得到巩固、形成完整的知识体系,而且可提高学生的计算能力,更重要的是达到运用的目的。在每一章节结束后,首先在习题课上教师应及时把所学的内容进行整理、总结和归纳,包括学过的基本知识点、基本解题方法、技巧,引导学生去掌握完善的、系统的知识,使学生对所学知识能够深刻理解并透彻掌握。如在第四章向量组的教学过程中,学生普遍反映概念、定理多而散,学起来较吃力,所以教师在习题课中应尽量将一些相关有联系的知识点串起来。例如在讲极大线性无关组、基及基础解系时,可通过下面的示意图来讲解,极大线性无关组是向量组中一个非常重要的概念之一,它可以表示整个向量组。当向量组中向量满足加法和数乘两种运算封闭时,该向量组就构成了一个向量空间,此时极大无关组在向量空间中赋予一个新的名词一基。进一步,如果向量空间中的每一个向量都为一个线性方程组的解向量,则该空间即为解空间,在解空间中不再用基这个概念,而是用基础解系来表示。这里虽然出现了三个不同的概念,但他们在本质上是相同的,只是在不同的场合给他们赋予了不同的名称而已。通过这样的讲解,可以加深学生对这三个概念的理解、掌握。

  其次,根据不同专业学生的教学大纲规定,教师要精心准备一些具有典型特点、覆盖知识面广的一些综合习题,可让学生先思考如何解,鼓励学生认真思考,然后教师再做分析讲解,通过这些题的练习,进一步加深和巩固对所学内容的理解,培养他们综合分析问题的能力。同时,对于批改作业中学生普遍存在的问题,也应在习题课中详细讲解,从而及时地解决这些问题。另外,在解题过程中最好能鼓励学生寻求一题多解。如在计算行列式时,教师可以讲解一些方法,例按行(列)展开法、三角形法、降阶法、递推法、加边法及数学归纳法等。这样可使学生明白做题要精,解题之前应分析题目特点,根据不同的特点采取相应的方法,掌握规律后,达到举一反三的目的。以期更好地完成教学工作。

  四、传统教学和多媒体教学相结合法

  线性代数中涉及的主要是行列式、矩阵、线性方程组等,因此在教学过程中教师书写量大,用的黑板较多,无疑课堂上板书花的时间也很多,再加上这门课的学时较少,可见要想在有限的学时内,较好地完成教学任务,使学生学有所用有一定的困难。但多媒体教学引进后,它改变了传统的教学模式,即节约了板书时间,也丰富了教学手段。

  另外,利用多媒体教学可以将一些抽象的、复杂的变换及图形生动、直观地表现出来,帮助学生获得感性认识,从而加深对知识的理解和掌握。但利用多媒体教学后,课堂的信息量也大大增大,很难使学生对教学内容留有深刻的印象,特别是数学教学,课堂上不能没有演算、推导的环节,而且完全使用多媒体教学肯定减少了师生之间的互动,这将大大影响教学效果。因此在线性代数的教学过程中,如果j;%将传统教学和多媒体教学有机地、合理地结合起来,发挥各自的优点,这将能更好地提高学生的学习兴趣,提高教学质量。

  以上是作者在教学过程中的一点认识与思考,众所周知,教学是一门艺术,但教无定法,采用何种教法应该因地制宜,有的放矢。但线性代数作为一门基础课程,教师应认真备课,充分了解学生的学习情况,关心学生,尊重学生,激发他们的学习热情,增强学生的自信心。”亲其师,信其道”也正是这个道理。教学活动毒师生的双边活动,是教和学两方面的有机的统一,学生应认真听课、练习,使教学效果达到最优。为后继课程打好坚实的基础。

  参考文献:

  [1]同济大学应用数学系,线性代数(第四版)【M】,高等教育出版社,2006.

  [2]李梦如,石琴春.关于线性代数课教学的两点看法[J].大学数学,2006,22(2):11-13.

  [3]陆峰,线性代数教学中使用反例教学的例证研究[J],湖北成人教育学院,2008,14(5):102-103.

  [4]伍建华,江世宏,戴祖旭,郭光耀,张晶,大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报,2007,16(3):36-39.

  作者简介:尹敏(1978-),女,湖南湘潭人,湘潭职业技术学院团委副书记、讲师、学士,研究方向:思想政治教育。

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