本文主要考虑将惩罚区域增收的保费用添加免赔额的方式替代的奖惩系统， 研究该系统中投保人的最优自留额的确定问题，并分析了系统平均最优自留额与免赔额之间的关系。
2 相关变量及假设
设一个奖惩系统有?s个等级，等级i的奖惩系数为C?i,i=1,2,3,…，s，本文采用?Lemaire关于BMS?平均最优自留额分析的基本假设：
经 济 数 学第 29卷第1期孙景云等：带有免赔额调整的车险奖惩系统及其最优自留额
1）设每个投保人的事故发生次数服从参数为λ的?Poisson?过程，设每次的损失金额为随机变量X，其分布函数为F（x），密度函数为f（x），且事故发生次数与损失额相互独立；
2）保单组合中不含有新增保单，也不会有退保保单；
3）自留额的计算是建立在无限时域假设之下，即保单持有人将永远开车并投保；
4）使用年中折现因子β，认为所有赔款都发生在每个保险年度的中点；
5）P是基础保费，即奖惩系数等于1时的毛保费，其中包含了安全附加，管理费用等；
6）1－t为到下一保单年度的剩余时间，t（0≤＜1）是投保人决定是否向保险公司报告索赔的决策?时刻；
7）m是在时间段［0,t］内当期已经报告的索赔次数。
在有些奖惩系统（特别是最优奖惩系统中）的惩罚等级中收取的保费要比初始保费高很多，有的甚至能达到2~3倍（参见文献［4］）。这种情况下会导致某些投保人转向其他保险公司，文献［4］利用无差别原理将惩罚级别中的增收保费的部分或全部用添加免赔额的方式来转变惩罚方式，从而尽可能避免了保单转移，还可以减少小额赔款带来的大量管理费用。免赔额的类型通常有两种，一种是对每个保单一年内总索赔的年免赔额，另一种是对每个保单每次的索赔设置次免赔额。本文所涉及的免赔额为次免赔额，采用类似文献［4］的思想，对一个有s个等级的奖惩系统，若从第k+1个等级开始，奖惩系数C?i＞1,i=k+1, k+2,…，s，利用无差别原理，根据增收保费转移比例确定不同等级次免赔额d?i,i=k+1,k+2, …，s.若将增收保费中比例为α（0≤α≤1）的部分用添加次免赔额的方式替代，则惩罚级别中的免赔额可用下式确定
C?iP=P?*?i+λE［?min?{X,d?i}］，（1）
其中，P?*?i=P+（C?i-1）P（1-α）是保险公司对处于第i等级投保人实际收取的保费，化简得
（C?i－1）Pα=λE［XX＜d?i］·p{X＜d?i}
+λd?i·p{X＞d?i}.（2）
显然，不管α取什么值，对前k个奖励等级，可认为d?i=0,i=1,2,…，k，惩罚等级中的免赔额可由式（2）算出（有些情况下需要数值计算）。当α=0时，增收的保费并没有用免赔额替代，故所有等级d?i=0;而当α=1时，说明惩罚级别中的增收的保费全部用免赔额替代了。
设R=（r?1,r?2,r?3,…，r?s）是系统的最优自留额向量，即若投保人按照该向量决策，处在等级i的投保人，只有当实际的损失超过r?i时才会向保险公司报告索赔。显然，当i=1,2,3,…，k时，r?i≥0;当i=k+1,k+2,…，s时，应有r?i≥d?i.
3 最优自留额的计算
对于事故发生频率为λ的保单组合，在一个保险期内发生次数服从参数为λ的?Poisson?分布，设事故发生k次的概率为P?k（λ），处于第i等级的投保人若严格按照最优自留额向量决策，则其不向保险公司报告损失的概率为P?i，则P?i=p{X≤r?i}，在一个保险期中报告k次损失的概率为?P?i?k（λ），则
??P?i?k（λ）=∑∞h=kP?h（λ）?C??k?h（1-P?i）?kPh-k?i.（3）
从而在一个保险期内报告的索赔次数的期望为?λ?i=∑∞?k=0k?P?i?k（λ）。根据?Poisson?过程的随机稀疏定理， 易知?λ?i=λ（1－P?i），即投保人向保险公司索赔的次数服从参数为λ（1－P?i）的?Poisson?过程。一次未报告索赔额的期望值为
E?i［X］=E［XX＜r?i］=1P?i?∫r?i?0xf（x）?d?x.（4）
由于假设事故发生次数与损失额相互独立，则投保人支付的未报告索赔额为E?i［X］（λ－?λ?i），从而在第i个等级中的投保人在一个保险期内支付的期望总费用的现值为
E［TC?i］=C?iP+β12E?i［X］（λ－?λ?i），
i=1,2,…，k;P?*?i+β12E?i［X］（λ－?λ?i）+β12?λ?id?i, i=k+1,k+2,…，s. （5）
设V?i（λ）表示第i等级投保人未来所有期望支付的贴现值， 即
V?i（λ）=E［TC?i］+β∑∞?k=0?P?i?k（λ）V??T?k（i）（λ）。 （6）
这里T?k（i）=j表示等级为i的投保人在一个保险期发生k次索赔后处于第j等级。 设投保人在时刻t发生损失为x时，已有m次索赔，此时将面临两种选择：
1）若报告索赔，此时总费用的期望值为
β－tE［TC?i］+?min? {x,d?i}
+β1－t∑∞?k=0?P?i?k［λ（1－t）］V??T??k+m+1（i）（λ）。（7）
2）若不报告索赔， 此时总费用的期望值为
β－tE［TC?i］+x+β1－t∑∞?k=0?P?i?k［λ（1－t）］V??T??k+m（i）（λ）。 （8）
最优自留额的选取应使上述两种行为在总费用上结果相等， 即式（7）=式（8）， 从而满足方程
x－?min? {x,d?i}=β1－t∑∞?k=0?P?i?k［λ（1－t）］·
［V??T??k+m+1（i）（λ）－V??T??k+m（i）（λ）］。
令x=r?i，又因r?i≥d?i，即
r?i=d?i+β1－t∑∞?k=0?P?i?k［λ（1－t）］·
［V??T??k+m+1（i）（λ）－V??T??k+m（i）（λ）］。 （9）
要计算出最优自留额的具体数值需要使用迭代算法， 具体的迭代过程为：
步骤1 设初始自留额向量为R?0=（0,0,…，0,d??k+1,d??k+2,…，d?s）， 即只要超过免赔额的损失都向保险公司索赔，此时式（6）可转换为形式：
V［0］?i（λ）=C?iP+β∑∞?h=0P?h（λ）V??T?h（i）（λ），
i=1,2,…，k;
P?*?i+β12λ［?∫d?i?0xf（x）?d?x+（1－P?'?i）d?i］
+β∑∞?k=0?i?k（λ）V??T?k（i）（λ），
i=k+1,k+2,…，s， （10）
其中P?'?i=p{X≤d?i}，i=k+1,k+2,…s,?i?k（λ）是参数为λ（1－P?'?i）的?Poisson?分布的分布律。式（10）构成了一个由s个方程，以V［0］?i（λ）为未知数的线性方程组，从而可以求出V［0］?i（λ）的值。
步骤2 将V［0］?i（λ）代入式（9）， 可得出一组新的自留额向量
r［1］?i=β1－t∑
?SymboleB@ ?k=0P?k（λ（1－t））［V??T??k+m+1（i）（λ）
-V??T??k+m（i）（λ）］， i=1,2,…，k;
d?i+β1－t∑∞?k=0?i?k（λ（1－
t））［V??T??k+m+1（i）（λ）－V??T??k+m（i）（λ）］，
i=k+1,k+2,…，s. （11）
由此， 可得新的自留额向量为R［1］=（r［1］?1,r［1］?2,r［1］?3,…，r［1］?s）。
步骤3 将步骤2中得到的R［1］，再次代入式（6）， 可计算得V［1］?i（λ）。
步骤4 将V［1］?i（λ）代入式（9）， 可计算得R［2］=（r［2］?1,r［2］?2,r［2］?3,…，r［2］?s）。
反复使用第3步和第4步迭代，在迭代的过程中， 第i等级投保人未来所有期望支付的贴现值V［k］?i（λ）会随着迭代次数k的增加而越来越小，最后很快会收敛到一个最小值，而此时计算的自留额即为最优自留额。
4 一个例子及结果分析
设事故发生的索赔额分布服从参数为μ的指数分布， 即f（x）=μ?e?μx.设某奖惩系统按索赔次数纪录分成7个奖惩等级， C=（C?1,C?2,C?3,C?4,C?5,C?6,C?7）= （0.7,0.8,0.9,1,1.2,1.4,1.6）为奖惩系数。投保人所在的奖惩等级由其上一年的索赔次数纪录和上一年所在的奖惩等级唯一确定，初次投保处于等级4,若上一年没有报告索赔则降低一个等级，若上一年发生n（n=1,2,3,…）次索赔，则上升2n个等级（当上升后等级数超过第7等级时停留在第7等级）。若将该奖惩系统中惩罚等级5, 6, 7 增收的保费中比例为α的部分用次免赔额取代，则可利用式（2）来确定免赔额。 若设λ=0.25,μ=?0.01,初始保费P=40,则免赔额是如下方程的解
（C?i－1）Pα=λ［1μ－?e?－μd?i（d?i+1μ）］+λd?i?e?－μd?i,
即 d?i=－1μ?ln? ［1－（C?i－1）Pαμλ］。
根据α的不同取值， 可得相应的免赔额如表1所示……
其中P?'?j=p{X≤d?j},可计算出各等级的平均最优自留额，即表2中最后一行。
为了分析增收保费的转移比例α对平均最优自留额的影响，下面将α取不同值时奖惩系统的平稳分布和各等级的平均最优自留额计算出来，从而可以得到奖惩系统的平均最优自留额，具体结果如表3所示。
表3中的最后一列是α取不同值时整个奖惩系统的平均最优自留额。 从表3中可以看出， 奖惩系统的平均最优自留额随着α的增加而增加， 说明对本例中的奖惩系统将惩罚部分根据无差别原理用免赔额进行转移时， 随着转移比例的增加， 该奖惩系统的严厉性会不断增加。
由上面的例子可以看出， 将原有的奖惩系统用次免赔额调整后会使得投保人的最优自留额发生变化， 从而使奖惩系统的严厉性发生变化。 这样， 保险公司可根据不同的要求利用免赔额对奖惩系统进行调整。??
